Журнал Кванта

26 апреля 2023 г.

Кристина Армитидж / Журнал Quanta

Соавтор

26 апреля 2023 г.

Первым доказательством, которое многие люди когда-либо изучают еще в старшей школе, является доказательство древнегреческого математика Евклида о том, что простых чисел бесконечно много. Он занимает всего несколько строк и не использует более сложных понятий, чем целые числа и умножение.

Его доказательство основано на том факте, что если бы было конечное число простых чисел, умножение их всех вместе и добавление 1 означало бы существование другого простого числа. Это противоречие означает, что простые числа должны быть бесконечными.

У математиков есть удивительно популярное времяпрепровождение: доказывать это снова и снова.

Зачем это делать? Во-первых, это весело. Что еще более важно, «я думаю, что грань между развлекательной математикой и серьезной математикой очень тонка», — сказал Уильям Гасарч, профессор информатики в Университете Мэриленда и автор нового доказательства, опубликованного в Интернете ранее в этом году.

Доказательство Гасарча — лишь последнее в длинной череде новых доказательств. В 2018 году Ромео Мештрович из Университета Черногории собрал около 200 доказательств теоремы Евклида в комплексном историческом обзоре. Действительно, вся область аналитической теории чисел, которая использует непрерывно меняющиеся величины для изучения целых чисел, возможно, возникла в 1737 году, когда математический гигант Леонард Эйлер использовал тот факт, что бесконечный ряд 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ 4 + 1/5 +… расходится (это означает, что его сумма не дает конечного числа), чтобы еще раз доказать, что существует бесконечное количество простых чисел.

Кристиан Эльшольц, математик из Технологического университета Граца в Австрии и автор еще одного недавнего доказательства, сказал, что вместо того, чтобы доказывать точные результаты из множества более мелких результатов (что делают математики, когда систематически собирают леммы в теоремы), он сделал противоположное. «Я использую Великую теорему Ферма, которая на самом деле является нетривиальным результатом. А затем я прихожу к очень простому выводу». По его словам, работа в обратном направлении может выявить скрытые связи между различными областями математики.

«Существует небольшое соревнование среди людей, которые смогут найти самое смехотворно сложное доказательство», — сказал Эндрю Грэнвилл, математик из Монреальского университета и автор двух других доказательств. «Это должно быть забавно. Делать что-то технически ужасное — не главное. Единственный способ сделать что-то сложное — это сделать это забавным».

Грэнвилл сказал, что в этом дружеском превосходстве есть серьезный смысл. Исследователям не просто задают вопросы, которые они пытаются решить. «Процесс создания в математике заключается не в том, что вы просто ставите задачу перед машиной, и машина ее решает. Речь идет о том, чтобы кто-то взял то, что он сделал в прошлом, и использовал это для создания техники и способа развития идей. ."

Как говорит Гасарч: «Все статьи переходят от милого нового доказательства бесконечности простых чисел к серьезной математике. Сегодня вы просто смотрите на простые числа, а на следующий день вы смотрите на плотности квадратов».

Получите журнал Quanta Magazine на свой почтовый ящик

Уильям Гасарч, профессор Университета Мэриленда, является последним в длинном ряду математиков, придумавших новое доказательство бесконечности простых чисел.

Эван Голуб

Доказательство Гасарча начинается с того, что если раскрасить целые числа в конечное число цветов, всегда найдется пара чисел одного цвета, сумма которых также будет того же цвета, что было доказано в 1916 году Иссаем Шуром. Гасарч использовал теорему Шура, чтобы показать, что если бы существовало конечное число простых чисел, то существовал бы идеальный куб (целое число, например 125, которое равно некоторому другому целому числу, умноженному само на себя три раза), который представляет собой сумму двух другие совершенные кубики. Но еще в 1770 году Эйлер доказал, что такого куба не существует — случай n = 3 Великой теоремы Ферма, которая утверждает, что не существует целочисленных решений для an + bn = cn для n, большего 2. Основываясь на этом противоречии, Гасарч рассуждал что простых чисел должно быть бесконечное количество.